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恒成立与存在性问题方法总结

时间: 2018-10-15 12:18:47    人气:45

  高三数学复习中的恒成立与存在性问题,涉及一次函数、二次函数等函数的性质、图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,因此也成为历年高考的一个热点,恒成立与存在性问题的处理途径有多种,下面是小编整理的恒成立与存在性问题方法总结,欢迎来参考!

   一、构建函数

  构建适当的函数,将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。

  1、构建一次函数

  众所周知,一次函数的图像是一条直线,要使一次函数在某一区间内恒大于(或小于)零,只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于(或小于)零即可。

  例1:若x∈(-2,2),不等式kx+3k+1>0恒成立,求实数k的取值范围。

  解:构建函数f(x)= kx+3k+1,则原问题转化为f(x)在x∈(-2,2)内恒为正。若k=0,则f(x)=1>0恒成立;若k≠0,则f(x)为一次函数,问题等价于f(-2)>0,f(2)>0,

  解之得k∈(- ,+∞)。

  例2:对m≤2的一切实数m,求使不等式2x-1>m(x -1)都成立的x的取值范围。

  解:原问题等价于不等式:(x -1)m-(2x-1)<0,设f(m)=(x -1)m-(2x-1),则原问题转化为求一次函数f(m)或常数函数在[-2,2]内恒为负值时x的取值范围。

  (1)当x -1=0时,x=±1。

  当x=1时,f(m)<0恒成立;当x=-1时,f(m)<0不成立。

  (2) 当x -1≠0时,由一次函数的单调性知:f(m)<0等价于f(-2)<0,且f(2)<0,即<x< ;综上,所求的x∈(  )。

  2、构建二次函数

  二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题,使原本复杂的问题变得容易解决。

  例3:若x≥0,lg(ax +2x+1)∈R恒成立,求实数a的取值范围。

  解:构造函数g(x)= ax +2x+1,则原问题等价于:当x≥0时,g(x)恒大于0。

  若a=0且x≥0,则g(x)= 2x+1>0恒成立;

  若a≠0,则g(x)为二次函数,当a<0时,显然当x≥0时不能使g(x)恒大于0,仅当a>0时,要使当x≥0时,g(x)恒大于0,只需Δ<0或△≥0- ≤0g(0)>0,解之得:a>0

  ∴a的取值范围为[0,+∞)。

  3、构建形如f(x)=ax+ 的函数

  通过换元、变形,将原问题转化为形如f(x)=ax+ 的函数的最值问题,再合理利用该函数的单调性等性质来解题,常要用到如下结论:

  (1)f(x)=ax+ 为奇函数,(2)当a>0,b>0时,f(x)在0, 上递减,在 ,+∞上递增。

  例4:若不等式x -5x-6<a(x-4)对于x∈[-1,1]恒成立,求a的取值范围。

  解:由x∈[-1,1]知:x-4<0,则原问题等价于:当x∈[-1,1]时, >a恒成立,即(x-4)- +3>a,令t=x-4,则原问题又等价于:当t∈[-5,-3]时,t- +3>a恒成立,构建函数f(t)= t- ,在t∈[-5,-3]上单调递增,∴0≤3+f(t) ≤ ,要使3+ (t- )>a恒成立,只要a<0即可。

  二、分离参数

  运用不等式的相关知识不难推出如下结论:

  若对于x的取值范围内的任何一个数,都有f(x)>g(a)恒成立,则f (x)>g(a),若对于x的取值范围内的任何一个数,都有f(x)<g(a)恒成立,则f (x)<g(a)。

  例5:若不等式|x-3|-|x+1|<a在(-∞,+∞)内恒成立,求a的取值范围。

  解:构造函数f(x)=|x-3|-|x+1|,则a必须大于f(x)的最大值,由f(x)=-4,x≥32-2x,-1<x<34,x≤-1知,f (x)=4,故a的取值范围为(4,+∞)。

  三、特殊赋值

  取特殊值的方法,对做选择题很有效,在恒成立问题上也不失为一个好方法。

  例7:已知实数a,b变化时,直线l :(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0恒过定点

  解:∵直线l 恒过定点,

  故令a=1,b=1,得3x+2y=0

  a=0,b=1,得x+y-1=0

  ∴3x+2y=0x+y-1=0

  解之得:x=-2y=3,将(-2,3)代入l ,经检验,点恒满足方程(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0。

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