一、问题的提出

随着新课程的不断深入,教学质量的不断提高,教坛呈现一片可喜的现象.然而,由于受传统观念的束缚和升学考试的压力,数学课堂中重知识轻实践、重讲解轻探索、重形式轻过程、重成绩轻素质培养等弊端依然普遍存在.这些现象的存在,严重地制约了数学课堂教学效益的提高.这些现象概括起来,就是淡化了数学过程教学.长此以往,将对学生数学素质的提高造成影响.那么,数学过程教学的具体现状怎样?应采取怎样的策略呢?本文将就此做以探讨.

二、数学过程教学的重要性及具体现状分析

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)明确规定了过程性目标:“经历(感受):在特定的数学活动中,获得一些初步的经验;体验(体会):参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些经验;探索:主动参与特定的数学活动,通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别与联系.”

《标准》从“经历”、“体验”、“探索”三方面对过程性目标做了具体的规定,体现了数学过程教学的重要性和必要性.总的来说,关注数学过程,是数学学科的本质使然,是数学教学的现实所需.数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画.简单地说,数学就是一个不断发现和应用的过程.正是在这一意义上,人们说:“数学是一个过程.”

1.重要性

(1)动手实践,印象深刻

心理学研究表明,亲身经历动手操作、思考与交流,有利于加深学生对数学知识的理解与记忆.例如,正方体的展开与折叠是培养学生空间想象能力、思维能力的良好素材.如果学生能经历正方体的剪切与折叠,体验“空间”与“平面”的相互转化,并认真观察思考,然后探索归纳出共11种不同的展开图情况,既丰富了数学思想方法,又印象深刻.

(2)设置情境,激发兴趣

爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师.”心理学研究也表明,学生在数学学习的过程中,始终伴随着一定的情感体验.积极高涨的情绪,有助于激发和强化学生的数学认知兴趣,最大限度地提高数学学习兴趣.由此看来,在中学数学的过程性教学中,根据教学内容、结合实际,设计出特定的数学活动情境来增强数学知识的趣味性,调动起学生对数学知识的兴趣是十分必要的.在内驱力的促使下,学生就会变“要我学”为“我要学”,主动去发现问题、提出问题、解决问题、归纳知识的规律等.可以说,这个数学知识学习的过程,就是实现《标准》提出的过程性目标的教学过程.

(3)注重过程,培养能力

《标准》明确指出:评价的主要目的是全面了解学生的学习过程.这就要求教师在平时教学中,要充分创设合适的教学情境,让学生经历知识发生、发展、形成与应用的过程,从而有利于学生更好地理解数学、应用数学;有利于增强学生学好数学的信心;有利于培养学生的各种能力.

案例1 探索多边形内角和.

“多边形内角和”的教学,不是简单地抛给学生公式,而是注重内角和的探索发现过程,渗透数学思想,培养学生的探究能力,其过程设计如下:

①如何把四边形、五边形、六边形转化为三角形,化未知为已知,利用“三角形的内角和为180°”的结论呢?

②试分别从四边形、五边形、六边形的一个顶点出发引对角线,将多边形分成若干个三角形.

(答案如图1所示).

③观察、发现:分成的三角形的个数与多边形的边数有什么关系?

④探索、归纳:从n边形的一个顶点出发引对角线,可构成多少个三角形?内角和怎样求?

⑤结论:多边形的内角和公式是什么?

⑥反思:你有别的方法探索多边形内角和吗?与同伴交流.

⑦拓广:从多边形的边上任意一点出发,与各顶点相连接行吗?从多边形的内部或外部的任意一点出发,与各顶点相连接呢?

2.具体现状分析

(1)知识与技能方面

数学基础知识、基本技能和基本思想方法是能力的基础,占中考较大的比例.在平时,许多教师没有足够重视“三基”教学,反而片面提高教学难度,进行大量的综合训练,导致学生“三基”薄弱,影响后续学习.如“三角形内角和”的教学,只让学生记住结论,不要求掌握它的来龙去脉.其实,这里的许多证明方法,揭示了“三角形内角和”与“平行线性质”的内在联系,不仅有助于巩固“三线八角”、轴对称等有关知识,而且通过一题多解、发散思维,培养学生灵活解决问题的能力.

(2)过程与方法方面

尽管中、高考不断提醒人们获取过程分,但无数次大大小小的考试,普遍存在“会而不对,对而不全”的现象,失分严重.究其原因,主要有以下3点.

第一,重结果轻过程.教师批改作业、试卷只看答案,答案对了就画对钩,不看过程,不给过程分;相反,答案错了,即使过程对,也不得分.长期下来,抹杀了学生的思维,大大打击了学生学习数学的积极性,导致学生解题格式不规范、解题步骤不完整.

第二,重形式轻反思.学生做题不求甚解,不进行反思总结,不懂得举一反三.长此以往,就会暴露出思维不全面、推理过程不严密、丢三落四等问题.殊不知,思维的培养、能力的提高是靠日积月累形成的,是无形的.

(3)情感与态度方面

过程性目标的实现是通过让学生经历“特定的数学活动”来完成的.让学生在这些特定的活动中,在情感和态度上达到经历、体验和探索数学知识的发生、发展的过程.经历、体验和探索这三种数学活动只能由学生自己进行,教师不应该也不能代替学生去体验.可是,在实际教学中,很多老师省去学生经历、体验和探索的时间,重成绩轻素质,重讲解轻探索,“节省”大量的时间去训练习题,拔高要求,致使学生失去学习兴趣.

三、数学过程教学应遵循的原则及采取的策略

数学过程教学的重要性,决定了数学过程教学应关注学生个性的发展,留给学生探索的时间和空间,重视概念的形成过程、公式和定理的推导过程、能力的培养过程以及数学思想方法的渗透过程,从而促进学生数学素质的提高.

1.应遵循的原则

(1)因材施教原则

这里有两层含义:一方面,根据教材的具体内容,可以是一课时的,甚至是某一个知识点,选择关注过程的教学,不求面面俱到;另一方面,根据学生的实际情况,选择过程教学的内容.

(2)“以学定教”原则

变“以教定学”为“以学定教”,真正体现学生的主体地位,给学生创设成功的机会,有利于学生数学素质的培养.如例、习题“一题多解”的教学,探究性内容的教学等.

(3)量变质变原则

“冰冻三尺非一日之寒”,学生数学素质的形成并非一朝一夕就能完成,只有真正落实过程教学,坚持不懈,当“量”的积累达到一定的程度,才能产生“质”的飞跃.如北师大版课标教材七~九年级关于“统计与概率”的知识,教材的安排呈螺旋式上升,目的在于逐步培养学生的统计观念.

(4)全员参与原则

“人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展”,“数学教育面向全体学生”是《标准》的纲领性理念.关注过程的数学教学,离不开学生的全员参与、合作交流,只有全员参与与个别辅导相结合,才能营造浓厚的学习气氛,激发学生学习数学的兴趣,促进数学素质的提高,从而大面积提高教学质量.

(5)循序渐进原则

数学是一门逻辑性、系统性很强的学科.落实过程教学,师生都要脚踏实地,一步一个脚印地教好、学好,切忌急于求成.

2.采取的策略

(1)加强概念形成的过程教学

教学中,教师应注意让学生经历、体验概念的形成过程,具体可按以下步骤进行概念教学:

①观察一组实例,从中抽象出共同的属性.

②给出新概念的定义,通过分析其逻辑意义,初步领会新概念的本质属性.

③深入挖掘新概念的内涵和外延,抓住其本质,使学生不仅知其然,更要知其所以然.

以“直角三角函数”为例进行剖析.正弦涉及比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识.正弦的值从本质上来说是一个“比值”,为了突出这个比值,教师可引导学生思考:正弦是直角三角形中对边与斜边的比,这个比值随角的大小的确定而确定,与边的长短无关,并且它的绝对值不会超过1.

④帮助学生建立新概念与已有认知结构中适当内容的联系,并让学生尝试用自己的语言表述概念.

⑤阐明概念之间的内在联系,形成概念系统,提高学生的思维能力.

⑥概念建立后,针对学生的疑点和难点,设计恰当的练习,采用灵活多样的形式,从不同角度进行训练.

⑦当学生从正面接触概念后,教师可再从概念的反面有针对性地创设一种错误的情境,并引导学生运用已有的知识和经验去分析错误、尝试矫正,让学生在反思中加深对概念的理解.

(2)加强定理发现的过程教学

教学中,教师应让学生经历定理的探索、发现过程,通过观察、实验、归纳、猜想、验证等一系列思维获得定理.

例如,对于“勾股定理”的教学,这个定理本身非常简洁,而且容易记忆,如果直接告诉学生,几分钟就可以解决问题,但这样的教学留给学生的只是一个数学公式,学生甚至不知道为什么要研究勾股定理,失去了一次探究性学习的好机会.事实上,勾股定理是初中数学中几个最重要的定理之一,它将数与形巧妙地联系在一起,只有让学生经历这样的探究过程,学生才会有所体会,才能获得解决问题的方法.

案例2 探索“勾股定理”.

①观察下页图2:

? 正方形a中含有________个小方格,即a的面积是________个单位面积;

正方形b中含有________个小方格,即b的面积是________个单位面积;

正方形c中含有________个小方格,即c的面积是________个单位面积;

你是怎样得到上面的结果的?与同伴交流.

(图中每个小方格代表1个单位面积).

②在图3中,正方形a、b、c中分别含有多少个小方格?它们的面积分别为多少?

③你能发现图2中三个正方形a、b、c的面积之间有什么关系吗?图3中的呢?

……

(3)加强公式、法则推导的过程教学

经历对公式、法则的探索过程,以及对算理的理解,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表达能力.如对于“多项式乘法运算法则”的学习,教师要鼓励学生通过对同一面积的不同表达和乘法分配律的运用两个方面,探索多项式相乘的运算法则,并体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想.又如,经历代数运算或者同一面积的不同表达,探索完全平方公式的过程,引导学生从多角度理解公式,包括公式的推导过程、结构特点、语言表达、几何解释、运用技巧、字母含义等,并进行灵活变式,培养能力.

(4)加强数学思想方法的教学

数学思想方法是潜藏在数学知识深层的隐性知识,仅由教师直接揭示这种隐性知识是不够的,学生要经历解答数学问题的过程,亲自体验和具体操作,才能领悟它的内核,掌握数学思想方法促进学生掌握数学思想方法主要靠数学习题,因为数学习题能从不同的角度训练学生的收敛思维或发散思维.

案例3(2009年浙江·义乌卷)如图4,在矩形abcd中,ab=3,ad=1,点p在线段ab上运动,设ap=x,现将纸片折叠,使点d与点p重合,得折痕ef(点e、f为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原.

①当x=0时,折痕ef的长为________;当点e与点a重合时,折痕ef的长为________;

②试写出使四边形epfd为菱形的x的取值范围,并求出当x=2时菱形的边长;

温馨提示:用草稿纸折折看,或许对你有所帮助哦!

此题非常重视学生动手实验、操作探究能力的培养,真正让学生经历在操作过程中获取“解决问题的经验”,渗透分类、数形结合、函数等多种数学思想方法.

(5)注重代数学习中发展学生的推理能力

《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑”,也就是数学教学应培养学生的推理能力.可是,人们往往认为几何是培养学生推理能力的主要载体,而忽视了代数对培养学生推理能力的作用.事实上,代数教学中,教师应有意识地培养学生的推理能力,鼓励学生通过合情推理进行大胆推测,利用符号间的运算验证、猜测或解决问题,同时有条理地表达自己的思考过程.

案例4探索:

①计算下列各组算式,并观察其共同特点.

②从以上的过程中,你发现了什么规律?

③试用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?

教师应鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示、并给出证明这一重要的数学结论的过程.这个过程包括了问题的符号表示和依据法则进行符号运算两个方面,运算结果(a+1)·(a-1)=-1构成了对所得猜想的证明.

(6)反思胜过做题

弗赖登塔尔指出:“反思是数学思维活动的核心和动力.在数学活动中引导学生及时、多角度地反思,能促使他们从新的角度,多层次、多侧面地对问题进行全面考察、分析与思考,激发学生的数学学习兴趣,养成独立思考,积极探索的习惯,对思维能力的提高大有裨益.”

虽然做题是学习数学的基本途径,但“题海”战术的收效很小.与其盲目做1000道数学题,不如选择做100道数学题,认真反思、总结解题的成功与失败的点点滴滴,通过分析、思考,提炼出自己的解题经验.所以,反思胜过做题.

此外,数学教学不仅要传授知识、培养能力,而且肩负育人的责任.在教学过程中,要适时渗透数学史的教育,激发学生的爱国热情,激发学生学习数学的兴趣,更要培养学生精益求精、科学严谨的求知态度,还要训练学生严密的思维过程,完整的解题步骤,规范的书写格式,获取过程分